1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического...

^ 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Главные формулы для ДПФ:

1. Для непрерывного сигнала:



2. Для дискретного (повторяющегося) сигнала:



Из теории дискретизации непрерывных сигналов следует, что реальные сигналы может быть описаны подборками как в спектральной, так 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического... и во временной областях. Конкретно переход от дискретного сигнала к дискретному диапазону и напротив вероятен с внедрением дискретного преобразования Фурье.

Число отсчетов сигнала либо диапазона (т.е. число степеней свободы сигнала) обычно ограничивают 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического... величиной N = 2m, где m = 1, 2, 3, … . Если x(nT) вещественная функция, то в силу четности ДПФ число отсчетов диапазона сокращается в 2 раза (однобокое преобразование).

Одно из главных применений ДПФ это вычисление сигнала на выходе фильтра 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического... с данной амплитудно-частотной чертой (АЧХ). При всем этом отсутствуют какие-либо ограничения с виду АЧХ. Она м.б., к примеру, совершенно прямоугольной, что нереально воплотить при помощи обыденных фильтров 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического....

Внедрение ДПФ:

а) при помощи прямого ДПФ находим диапазон входного сигнала x(nT);

б) находим диапазон выходного сигнала , где H(e jωT) – частотная черта фильтра;

в) при помощи оборотного ДПФ находим выходной 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического... сигнал y(nT).

Обработку сигналов при помощи ДПФ нельзя именовать цифровой фильтрацией в полном смысле слова. Обыденные ЦФ, работающие в реальном времени, обрабатывают сигнал безпрерывно по мере его поступления. А обработка ДПФ 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического... делается только после того, как будет стопроцентно известен входной сигнал. Потому при использовании ДПФ выходной сигнал м.б. получен с неким запаздыванием по отношению к входному сигналу. Но в ряде практических 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического... применений такое запаздывание не играет значимой роли. Если входной сигнал имеет огромную продолжительность, то его обработку при помощи ДПФ можно создавать по частям. Для увеличения точности обработки обрабатываемые серии отсчетов сигнала могут 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического... отчасти перекрываться.

Конкретное вычисление ДПФ просит выполнения огромного объема вычислений – так для ^ N отсчетов сигнала нужно выполнить N2 умножений и N(N–1) сложений. Потому для огромных N (N > 1000) целесообразнее использовать методы резвого преобразования Фурье 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического... (БПФ).

Так, к примеру, согласно одному из алгоритмов сумму (см. выше уравнение для диапазона дискретного сигнала) разбивают на две части – для четных и нечетных значений n. Потом в каждую 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического... часть вводят новые индексы для нумерации отсчетов и, поступая аналогично по отношению к новым индексам, разбивают каждую часть на две и т.д., пока не останутся части, содержащие по одному отсчету сигнала. Таковой 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического... метод именуют «алгоритмом с прореживанием по времени».

Согласно еще одному методу сумму в уравнении для диапазона дискретного сигнала разбивают на части аналогичным методом, но не по четности индексов, а просто – напополам 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического.... Таковой метод именуют «алгоритмом с прореживанием по частоте».
1.3. Z-преобразование

В задачках анализа и синтеза линейных дискретных систем обширно используются способы Z-преобразования.

Запишем поначалу преобразование Лапласа для непрерывных сигналов:

.

Преобразование Лапласа можно использовать 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического... фактически для всех сигналов, так как все реально имеющиеся сигналы имеют начало.

Применим преобразование Лапласа к дискретному сигналу, записанному в виде последовательности -функций:

.

Подставляя выражение для f(t) в выражение для F(p 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического...) и меняя местами суммирование и интегрирование, получим дискретное преобразование Лапласа:

.

Если положить epT = z, то в итоге таковой подмены придем к прямому Z-преобразованию, которое обычно используют для анализа 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического... дискретных сигналов, т.е.

, где n = 0, 1, 2, …

Это однобокое Z-преобразование, где огромное количество значений всеохватывающей переменной z = re jφ = α + jβ, при которых ряд F(z) сходится, именуется областью сходимости. По другому говоря, область 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического... сходимости ряда определяется радиусом круга r в z-плоскости, вне которого ряд сходится. Для равномерной сходимости ряда довольно, чтоб производилось условие:

.

^ Оборотное преобразование Z-1{·} позволяет найти значения дискретного сигнала по виду функции F(z 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического...), т.е. можно сказать, что оборотное Z-преобразование ставит в соответствие функции всеохватывающей переменной F(z) решетчатую функцию (последовательность) f(nT) = Z –1{F(z)}, определяемую по формуле

, где – интеграл по 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического... контуру, расположенному в области сходимости и обхватывающему начало координат в z-плоскости. Этот интеграл комфортно вычислять с помощью аксиомы о вычетах: функция f(nT) определяется суммой вычетов подынтегральной функции в полюсах, расположенных 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического... в области, охватываемой контуром интеграла, т.е.

, при этом вычет в ординарном полюсе z = zk равен

.

Удачный метод вычисления оборотного ^ Z-преобразования заключается в разложении F(z) на обыкновенные дроби (если F(z) – рациональная 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического... функция):

.

В данном случае, используя свойство линейности, найдем, что

.

Более необходимыми качествами Z-преобразования являются линейность, сдвиг (задержка) последовательности, свертка последовательностей, перемножение последовательностей и выполнение равенства Парсеваля.

Линейность

Если последовательности f1(nT) и f2(nT 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического...) имеют, соответственно, Z-преобразования F1(z) и F2(z) и a1, a2 – неизменные, не зависящие от k коэффициенты, то F(nT) = a1f1(nT) + a2f2(nT) имеет изображение

F(z) = a1F 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического...1(z) + a2F2(z).

Z-преобразование задержанной последовательности

Задержим дискретный сигнал x(nT) во времени на величину интервала дискретизации T, т. е. y(nT) = x(nT–T) – новый сигнал. Пусть также понятно Z 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического...-преобразование x(nT): . Тогда

.

Таким макаром, запаздывание дискретного сигнала на величину ^ T соответствует умножению Z-преобразования на z –1 и т.д.

Свертка последовательностей

Пусть X1(z) = Z{x1(nT)}, X2(z) = Z{x2(nT)}. Свертка 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического... последовательностей x1(nT) и x2(nT)



имеет изображение Y(z) = X1(z)X2(z).

Перемножение последовательностей

Если X1(z) = Z{x1(nT)} и X2(z) = Z{x2(nT)}, то последовательность y(nT 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического...) = x1(nT)x2(nT) имеет Z-преобразование , где контур С лежит снутри пересекающихся областей сходимости X1(v) и X2(z/v). Следствием этой формулы является преобразование Фурье (диапазон) сигнала y 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического...(nT), т.е. , где X1(e jωT) и X2(e jωT) – диапазоны сигналов x1(nT) и x2(nT).

Равенство Парсеваля

Если положить (звездочка значит комплексно-сопряженную величину), то можно записать

.

При x 1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического...1(nT) = x2(nT) = x(nT) получим равенство Парсеваля

.

В табл. 1.3 даны примеры прямого и оборотного Z-преобразований.


115-evolyuciya-duhovnoj-kulturi-n-v-shishovoj-rekomendovano-ministerstvom-obrazovaniya-rossijskoj-federacii-v.html
115-lichnostno-orientirovannoe-razvivayushee-obuchenie-i-s-yakimanskaya-vnuchke-katenke-pedagogu-xxi-veka-posvyashayu.html
115-rol-gosudarstva-v-transformacionnoj-ekonomike-kurs-lekcij-pod-redakciej-i-v-novikovoj-i-yu-m-yasinskogo.html